Без кейворда

Ожидаемое значение - это, пожалуй, самая полезная концепция вероятности, которую мы будем обсуждать.

Ожидаемое значение - это, пожалуй, самая полезная концепция вероятности, которую мы будем обсуждать. У него много приложений, от страховых полисов до принятия финансовых решений, и это то, о чем, как надеются большинство людей, никогда не узнают казино и государственные учреждения, которые проводят азартные игры и лотереи.

Пример 42

В игровой рулетке казино вращается колесо с 38 ячейками (18 красных, 18 черных и 2 зеленых). В одной из возможных ставок игрок ставит 1 доллар на одно число. Если это число вращается на колесе, они получают 36 долларов (их исходные 1 + 35 долларов). В противном случае они теряют свой 1 доллар. В среднем, сколько денег игрок должен ожидать выиграть или проиграть, если он будет играть в эту игру несколько раз?

Предположим, вы ставите 1 доллар на каждое из 38 клеток на колесе, в результате чего общая ставка составляет 38 долларов. Когда выпадет выигрышный номер, вам будет выплачено 36 долларов за это число. Хотя вы выиграли по этому единственному номеру, в целом вы проиграли 2 доллара. В расчете на единицу площади вы «выиграли» - 2 доллара / 38 долларов ≈ - 0,053 доллара. Другими словами, в среднем вы теряете 5,3 цента за каждое место, на которое делаете ставку.

Мы называем этот средний выигрыш или проигрыш ожидаемой стоимостью игры в рулетку. Обратите внимание, что никто никогда не проигрывает ровно 5,3 цента: большинство людей (фактически около 37 из каждых 38) теряют 1 доллар, и очень немногие люди (примерно 1 человек из каждых 38) получают 35 долларов (36 долларов, которые они выиграли, минус 1 доллар, который они выиграли). потратил на игру).

Есть еще один способ вычислить ожидаемое значение, не представляя, что произойдет, если мы проиграем все возможные пробелы. Когда колесо вращается, существует 38 возможных исходов, поэтому вероятность выигрыша равна [latex] \ frac [/ latex]. Дополнение, вероятность проигрыша, составляет [latex] \ frac [/ latex].

Суммируя их вместе со значениями, мы получаем следующую таблицу:

Исход Вероятность исхода
35 долларов США [латекс] \ frac [/ латекс]
- 1 доллар [латекс] \ frac [/ латекс]

Обратите внимание: если мы умножим каждый результат на соответствующую вероятность, мы получим [latex] \ $ 35 \ cdot \ frac = 0.9211 [/ latex] и [latex] - \ $ 1 \ cdot \ frac = - 0,9737 [/ latex], и если сложить эти числа, мы получим

0,9211 + (-0,9737) ≈ -0,053, что является ожидаемым значением, которое мы вычислили выше.

Ожидаемое значение- это средний выигрыш или проигрыш события, если процедура повторяется много раз.

Мы можем вычислить ожидаемое значение, умножив каждый результат на вероятность этого результата, а затем сложив продукты.

Попробовать сейчас 12

Вы покупаете лотерейный билет на благотворительность. Билет на розыгрыш стоит 5 долларов. Благотворительность продает 2000 билетов. Один из них будет разыгран, и обладатель билета получит приз в размере 4000 долларов. Вычислите ожидаемую стоимость этого розыгрыша.

Пример 43

В лотерее определенного штата 48 шаров с номерами от 1 до 48 помещаются в автомат, и шесть из них разыгрываются случайным образом. Если шесть выпавших номеров совпадают с числами, выбранными игроком, игрок выигрывает 1 000 000 долларов. Если они угадают 5 чисел, выиграйте 1000 долларов. Билет стоит 1 доллар. Найдите ожидаемое значение.

Ранее мы рассчитали вероятность совпадения всех 6 чисел и вероятность совпадения 5 чисел:

Наши вероятности и значения результатов:

Исход Вероятность исхода
999 999 долларов США [латекс] \ frac [/ латекс]
999 долл. США [латекс] \ frac [/ латекс]
- 1 доллар [латекс] 1- \ frac = \ frac [/ latex]

Тогда ожидаемое значение будет:

В среднем можно ожидать проиграть на лотерейном билете около 90 центов. Конечно, большинство игроков проиграют 1 доллар.

В общем, если ожидаемая ценность игры отрицательная, играть в нее - не лучшая идея, поскольку в среднем вы потеряете деньги. Было бы лучше сыграть в игру с положительным математическим ожиданием (удачи в поиске!), Хотя имейте в виду, что даже если средний выигрыш положителен, может случиться так, что большинство людей проиграют деньги и один очень удачливый человек выигрывает много денег. Если ожидаемая ценность игры равна 0, мы называем это честной игрой, поскольку ни одна из сторон не имеет преимущества.

Попробовать сейчас 13

Друг предлагает сыграть в игру, в которой вы бросаете 3 стандартных 6-гранных кубика. Если все кости бросают разные значения, вы даете ему 1 доллар. Если любые два кубика совпадают, вы получаете 2 доллара. Какова ожидаемая ценность этой игры? Вы бы сыграли?

Ожидаемая ценность также применяется не только в азартных играх. Ожидаемая стоимость очень часто используется при принятии страховых решений.

Пример 44

Риск смерти 40-летнего мужчины в США в течение следующего года составляет 0,242%. [1] Страховая компания взимает 275 долларов за полис страхования жизни, по которому выплачивается 100 000 долларов пособия в случае смерти. Какова ожидаемая стоимость для человека, покупающего страховку?

Вероятности и исходы

Исход Вероятность исхода
100 000–275 долл. США = 99 725 долл. США 0,00242
- 275 долларов США 1 - 0,00242 = 0,99758

Ожидаемое значение: (99 725 долларов США) (0,00242) + (- 275 долларов США) (0,99758) = - 33 доллара США.

Неудивительно, что математическое ожидание отрицательное; страховая компания может позволить себе предлагать полисы только в том случае, если они в среднем зарабатывают на каждом полисе. Они могут позволить себе выплачивать периодические выплаты, потому что они предлагают достаточно полисов, чтобы эти выплаты были уравновешены остальными застрахованными людьми.

Для людей, покупающих страховку, ожидаемая стоимость будет отрицательной, но есть гарантия, которая исходит от страховки, которая стоит этих затрат.

Попробуй прямо сейчас Ответы

  1. Существует 60 возможных значений от 00 до 59. a. [латекс] \ frac [/ латекс] б. [latex] \ frac [/ latex] (считая от 00 до 15)
  1. Поскольку второй розыгрыш производится после замены первой карты, эти события независимы. Вероятность туза при каждой розыгрыше равна [latex] \ frac = \ frac [/ latex], поэтому вероятность получения туза при обоих розыгрышах равна [latex] \ frac < 1>\ cdot \ frac = \ frac [/ latex]
  1. P (белый носок и белая футболка) = [латекс] \ frac \ cdot \ frac = \ frac [/ latex]

P (белый носок или белая футболка) = [латекс] \ frac + \ frac - \ frac = \ frac [/ latex ]

  1. а. [латекс] \ frac \ cdot \ frac = \ frac = \ frac [/ latex]
  1. Из 100 000 человек 500 болеют. Из них все 500 дали положительный результат. Из 99 500 человек без заболевания 2 985 дали ложноположительный результат, а остальные 96 515 - отрицательный.

P (заболевание | положительный результат) = [латекс] \ frac = \ frac [/ latex] ≈ 14,3%

  1. 8 · 11 · 5 = 440 комбинаций меню
  1. Всего 26 символов. а. 265 = 11 881 376. б. 26P5 = 26 · 25 · 24 · 23 · 22 = 7 893 600
  1. Порядок не имеет значения. 29C19 = 20 030 010 возможных подкомитетов
  1. Существует 510 = 9 765 625 различных ответов на экзамен. Есть 9 возможных мест для одного пропущенного вопроса, и в каждом из этих мест есть 4 неправильных ответа, поэтому существует 36 способов ответить на тест одним неправильным ответом.

P (9 правильных ответов) = [латекс] \ frac ^ >>[/ latex] ≈ 0,0000037 шанс

  1. [латекс] P (\ text ) = \ frac _ < _ >\ вправо) \ влево (<>_ < _ >\ справа)>_ < _ >>= \ frac [/ latex] ≈ 0,0000092
  1. [латекс] P (\ text ) = 1- \ frac _ <

    _ >>^ >>[/ латекс] ≈ 0,117

  1. [латекс] \ left (\ 3,995 $ \ right) \ cdot \ frac + \ left (- \ 5 $ \ right) \ cdot \ frac [/ latex] ≈ - 3,00 $
  1. Предположим, вы бросаете первый кубик. Вероятность второго будет отличаться от [latex] \ frac [/ latex]. Вероятность того, что третий бросок отличается от двух предыдущих, равна [latex] \ frac [/ latex], поэтому вероятность того, что три кубика различны, равна [latex] \ frac \ cdot \ frac = \ frac [/ latex]. Вероятность совпадения двух кубиков - это дополнение, [latex] 1- \ frac = \ frac [/ latex].

Ожидаемое значение: [latex] \ left (\ $ 2 \ right) \ cdot \ frac + \ left (- \ $ 1 \ right) \ cdot \ frac = \ frac < 12>[/ latex] ≈ 0,33 доллара США. Да, играть в ваших интересах. В среднем вы выигрываете 0,33 доллара за игру.