Без кейворда

Мы можем использовать перестановки и комбинации, чтобы помочь нам ответить на более сложные вопросы вероятности.

Мы можем использовать перестановки и комбинации, чтобы помочь нам ответить на более сложные вопросы вероятности.

Пример 1

Выбран 4-значный PIN-код. Какова вероятность того, что нет повторяющихся цифр?

Для каждой цифры ПИН-кода существует 10 возможных значений (а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), так что 10 × 10 × 10 × 10 = 10 4 = 10000. общее количество возможных PIN-кодов.

Чтобы не было повторяющихся цифр, все четыре цифры должны быть разными, что выбирается без замены. Мы могли бы либо вычислить 10 × 9 × 8 × 7, либо заметить, что это то же самое, что и перестановка 10 P4 = 5040.

Вероятность отсутствия повторяющихся цифр - это количество 4-значных PIN-кодов без повторяющихся цифр, деленное на общее количество 4-значных PIN-кодов. Эта вероятность равна

Пример 2

В лотерее определенного штата 48 шаров с номерами от 1 до 48 помещаются в автомат, и шесть из них разыгрываются случайным образом. Если шесть выпавших номеров совпадают с числами, выбранными игроком, игрок выигрывает 1 000 000 долларов. В этой лотерее порядок выпадения чисел не имеет значения. Вычислите вероятность того, что вы выиграете приз в миллион долларов, если купите один лотерейный билет.

Чтобы вычислить вероятность, нам нужно подсчитать общее количество способов, которыми можно вытянуть шесть чисел, и количество способов, которыми шесть чисел в билете игрока могут совпадать с шестью числами, выпавшими из автомата. Поскольку не указано, что числа должны быть в каком-либо определенном порядке, количество возможных результатов розыгрыша лотереи составляет 48 C6 = 12 271 512. Из этих возможных исходов только один совпадет со всеми шестью числами в билете игрока, поэтому вероятность выигрыша главного приза равна:

Пример 3

В государственной лотерее из предыдущего примера, если пять из шести выпавших номеров совпадают с числами, выбранными игроком, игрок выигрывает второй приз в размере 1000 долларов. Вычислите вероятность того, что вы выиграете второй приз, если купите один лотерейный билет.

Как и выше, количество возможных результатов розыгрыша лотереи составляет 48 C6 = 12 271 512. Чтобы выиграть второй приз, пять из шести номеров в билете должны совпадать с пятью из шести выигрышных номеров; Другими словами, мы должны были выбрать пять из шести выигрышных номеров и одно из 42 проигрышных номеров. Количество способов выбрать 5 из 6 выигрышных номеров равно 6 C5 = 6, а количество способов выбрать 1 из 42 проигрышных номеров равно 42 C1 = 42. Таким образом, количество благоприятных исходов затем дается Основным правилом подсчета: 6 C5 × 42 C1 = 6 × 42 = 252. Таким образом, вероятность выиграть второй приз равна

Попробуй это сейчас

Вопрос с несколькими вариантами ответов в викторине по экономике содержит 10 вопросов с пятью вариантами ответов на каждый. Вычислите вероятность случайного угадывания ответов и получения правильных 9 вопросов.

Пример 4

Вычислите вероятность случайного вытягивания пяти карт из колоды и получения ровно одного туза.

Во многих карточных играх (например, в покере) порядок вытягивания карт не важен (так как игрок может переставлять карты в руке по своему усмотрению); в следующих задачах мы будем предполагать, что это так, если не указано иное. Таким образом, мы используем комбинации для вычисления возможного количества 5-карточных рук, 52 C5 . Это число войдет в знаменатель нашей формулы вероятности, поскольку это количество возможных исходов.

В качестве числителя нам нужно количество способов вытянуть из колоды один туз и четыре другие карты (ни одна из них не тузы). Поскольку у нас четыре туза, и нам нужен ровно один из них, будет 4 способа C1 выбрать один туз; так как 48 не-тузов, а нам нужно 4 из них, будет 48 C4 способа выбрать 4 не-туза. Теперь мы используем Основное правило подсчета, чтобы вычислить, что будет 4 C1 × 48 C4 способа выбрать один туз и четыре не-туза.

Собирая все вместе, у нас есть

Пример 5

Вычислите вероятность случайного вытягивания пяти карт из колоды и получения ровно двух тузов.

Решение аналогично предыдущему примеру, за исключением того, что теперь мы выбираем 2 туза из 4 и 3 не-туза из 48; знаменатель остается прежним:

Полезно отметить, что эти проблемы с картами очень похожи на проблемы лотереи, обсуждавшиеся ранее.

Попробуй это сейчас

Вычислите вероятность случайного вытягивания пяти карт из колоды карт и получения трех тузов и двух королей.

Проблема Дня Рождения

Сделаем паузу, чтобы рассмотреть знаменитую проблему теории вероятностей:

Предположим, у вас есть комната на 30 человек. Какова вероятность того, что есть хотя бы один общий день рождения?

Угадайте ответ на вышеуказанную проблему. Было ли ваше предположение довольно низким, например, около 10%? Кажется, это интуитивный ответ (возможно, 30/365?). Посмотрим, стоит ли нам прислушиваться к своей интуиции. Однако давайте начнем с более простой задачи.

Пример 6

Предположим, три человека находятся в комнате. Какова вероятность того, что у этих трех людей есть хотя бы один общий день рождения?

Есть много способов указать хотя бы один общий день рождения. К счастью, есть более простой способ. Мы спрашиваем себя: «Какая альтернатива тому, чтобы иметь хотя бы один общий день рождения?» В этом случае альтернативой является отсутствиеобщих дней рождения. Другими словами, альтернативы «хотя бы одному» нет. Другими словами, поскольку это дополнительное событие,

Итак, мы начнем с вычисления вероятности того, что общего дня рождения нет. Представим, что вы один из этих трех человек. Ваш день рождения может быть любым без каких-либо конфликтов, поэтому для вашего дня рождения есть 365 вариантов из 365. Какова вероятность, что второй человек не разделит ваш день рождения? В году 365 дней (давайте проигнорируем високосные годы), и если исключить ваш день рождения из споров, есть 364 варианта, которые гарантируют, что вы не разделите день рождения с этим человеком, поэтому вероятность того, что второй человек не поделится вашим днем ​​рождения это 364/365. Теперь переходим к третьему лицу. Какова вероятность того, что у этого третьего человека не тот же день рождения, что и у вас или у второго человека? Есть 363 дня, которые не будут дублировать ваш день рождения или день рождения второго человека,Таким образом, вероятность того, что третий человек не разделит день рождения с первыми двумя, равна 363/365.

Мы хотим, чтобы второй человек не разделял день рождения с вами, атретий человек не разделял день рождения с первыми двумя людьми, поэтому мы используем правило умножения:

а затем вычтите из 1, чтобы получить

P (общий день рождения) = 1 - P (без общего дня рождения) = 1 - 0,9918 = 0,0082.

Это довольно небольшое число, поэтому, возможно, имеет смысл, что ответ на нашу исходную проблему будет небольшим. Давайте немного увеличим нашу группу.

Пример 7

Предположим, пять человек находятся в комнате. Какова вероятность того, что у этих пяти человек есть хотя бы один общий день рождения?

Продолжая образец предыдущего примера, ответ должен быть

Обратите внимание, что мы могли бы переписать это более компактно как

который немного упрощает ввод текста в калькулятор или компьютер, и который предлагает красивую формулу, поскольку мы продолжаем расширять население нашей группы.

Пример 8

Допустим, в комнате 30 человек. Какова вероятность того, что у этих 30 человек есть хотя бы один общий день рождения?

Здесь мы можем рассчитать

что дает нам удивительный результат: когда вы находитесь в комнате с 30 людьми, вероятность того, что будет хотя бы один общий день рождения, составляет 70%!

Если вы любите делать ставки и можете убедить 30 человек раскрыть свои дни рождения, вы можете выиграть немного денег, поспорив с другом на то, что в комнате будет как минимум два человека с одинаковым днем ​​рождения в любое время, когда вы находитесь в комнате. комната от 30 и более человек. (Конечно, вам нужно убедиться, что ваш друг не изучил вероятность!) Вы не гарантированно выиграете, но вы должны выигрывать более чем в половине случаев.

Это один из многих противоречивых результатов теории вероятностей; то есть это идет вразрез с нашими инстинктами. Если вы все еще не верите в математику, вы можете провести симуляцию. Чтобы вам не пришлось собирать группы из 30 человек, кто-то любезно разработал Java-апплет, чтобы вы могли проводить компьютерное моделирование. Перейдите на эту веб-страницу, и после загрузки апплета выберите 30 дней рождения, а затем продолжайте нажимать «Пуск» и «Сброс». Если вы отслеживаете, сколько раз повторяется день рождения, вы должны получить повторение дня рождения примерно 7 раз из каждых 10 раз, когда вы запускаете моделирование.

Попробуй это сейчас

Предположим, в комнате находится 10 человек. Какова вероятность того, что у этих 10 человек есть хотя бы один общий день рождения?

Ожидаемое значение

Ожидаемое значение - это, пожалуй, самая полезная концепция вероятности, которую мы будем обсуждать. Он имеет множество приложений, от страховых полисов до принятия финансовых решений, и это то, о чем, как надеются большинство людей, никогда не узнают казино и государственные учреждения, которые проводят азартные игры и лотереи.

Пример 9

В игровой рулетке казино вращается колесо с 38 ячейками (18 красных, 18 черных и 2 зеленых). В одной из возможных ставок игрок ставит 1 доллар на одно число. Если это число вращается на колесе, они получают 36 долларов (их исходные 1 + 35 долларов). В противном случае они теряют свой 1 доллар. В среднем, сколько денег игрок должен ожидать выиграть или проиграть, если он будет играть в эту игру несколько раз?

Предположим, вы ставите по 1 доллару на каждое из 38 мест на колесе, в результате чего общая ставка составляет 38 долларов. Когда выпадет выигрышный номер, вам будет выплачено 36 долларов за это число. Пока вы выиграли по этому единственному номеру, в целом вы проиграли 2 доллара. В расчете на единицу площади вы «выиграли» - 2 доллара / 38 долларов ≈ - 0,053 доллара. Другими словами, в среднем вы теряете 5,3 цента за каждое место, на которое делаете ставку.

Мы называем этот средний выигрыш или проигрыш ожидаемой стоимостью игры в рулетку. Обратите внимание, что никто никогда не проигрывает ровно 5,3 цента: большинство людей (фактически около 37 из каждых 38) теряют 1 доллар, и очень немногие люди (примерно 1 человек из каждых 38) получают 35 долларов (36 долларов, которые они выиграли, минус 1 доллар, который они выиграли). потратил на игру).

Есть еще один способ вычислить ожидаемое значение, не представляя, что произойдет, если мы проиграем все возможные пробелы. Когда колесо вращается, существует 38 возможных исходов, поэтому вероятность выигрыша равна [latex] \ frac \\ [/ latex]. Дополнение, вероятность проигрыша, составляет [latex] \ frac \\ [/ latex].

Суммируя их вместе со значениями, мы получаем следующую таблицу:

Исход Вероятность исхода
35 долларов США [латекс] \ displaystyle \ frac >>\\ [/ latex]
- 1 доллар [латекс] \ displaystyle \ frac >>\\ [/ latex]

Обратите внимание: если мы умножим каждый результат на соответствующую вероятность, мы получим $ 35 × [латекс] \ frac >>\\ [/ latex] = 0,9211 и - 1 $ × [латекс] \ frac \\ [/ latex] = –0,9737, и если мы сложим эти числа, мы получим 0,9211 + (–0,9737) ≈ –0,053, что является ожидаемым значением, которое мы вычислили выше.

Ожидаемое значение

Ожидаемое значение- это средний выигрыш или проигрыш события, если процедура повторяется много раз.

Мы можем вычислить ожидаемое значение, умножив каждый результат на вероятность этого результата, а затем сложив продукты.

Попробуй это сейчас

Вы покупаете лотерейный билет на благотворительность. Билет на розыгрыш стоит 5 долларов. Благотворительность продает 2000 билетов. Один из них будет разыгран, и обладатель билета получит приз в размере 4000 долларов. Вычислите ожидаемую стоимость этого розыгрыша.

Пример 10

В лотерее определенного штата 48 шаров с номерами от 1 до 48 помещаются в автомат, и шесть из них разыгрываются случайным образом. Если шесть выпавших номеров совпадают с числами, выбранными игроком, игрок выигрывает 1 000 000 долларов. Если они совпадут с 5 числами, выиграйте 1000 долларов. Билет стоит 1 доллар. Найдите ожидаемое значение.

Ранее мы рассчитали вероятность совпадения всех 6 чисел и вероятность совпадения 5 чисел:

Наши вероятности и значения результатов:

Исход Вероятность исхода
999 999 долл. США [латекс] \ frac >>\\ [/ latex]
999 долл. США [латекс] \ frac >>\\ [/ latex]
- 1 доллар [латекс] - \ frac >>= \ frac >>\\ [/ latex]

Тогда ожидаемое значение будет:

В среднем можно ожидать проиграть на лотерейном билете около 90 центов. Конечно, большинство игроков проиграют 1 доллар.

В общем, если ожидаемая ценность игры отрицательна, играть в нее - не лучшая идея, поскольку в среднем вы потеряете деньги. Было бы лучше сыграть в игру с положительным математическим ожиданием (удачи в поиске!), Хотя имейте в виду, что даже если среднийвыигрыш положителен, может случиться так, что большинство людей проиграют деньги и один очень удачливый человек выигрывает много денег. Если ожидаемая ценность игры равна 0, мы называем это честной игрой, поскольку ни одна из сторон не имеет преимущества.

Неудивительно, что ожидаемое значение для игр казино отрицательно для игрока, что положительно для казино. Он должен быть положительным, иначе они разорятся. Игрокам просто нужно помнить, что, когда они играют в игру несколько раз, их математическое ожидание отрицательно. Это нормально, если вы наслаждаетесь игрой и думаете, что она того стоит. Но рассчитывать на выход вперед было бы неправильно.

Попробуй это сейчас

Друг предлагает сыграть в игру, в которой вы бросаете 3 стандартных 6-гранных кубика. Если все кости бросают разные значения, вы даете ему 1 доллар. Если любые два кубика совпадают, вы получаете 2 доллара. Какова ожидаемая ценность этой игры? Вы бы сыграли?

Ожидаемая ценность также применяется не только в азартных играх. Ожидаемая стоимость очень часто используется при принятии страховых решений.

Пример 11

Согласно оценке numericalexample.com, риск смерти 40-летнего мужчины в США в течение следующего года составляет 0,242%. Страховая компания взимает 275 долларов за полис страхования жизни, по которому выплачивается компенсация в размере 100 000 долларов в случае смерти. Какова ожидаемая стоимость для человека, покупающего страховку?

Вероятности и исходы

Исход Вероятность исхода
100 000–275 долл. США = 99 725 долл. США 0,00242
- 275 долларов США 1 - 0,00242 = 0,99758

Ожидаемое значение: (99 725 долларов США) (0,00242) + (- 275 долларов США) (0,99758) = - 33 доллара США.

Неудивительно, что математическое ожидание отрицательное; страховая компания может позволить себе предлагать полисы только в том случае, если они в среднем зарабатывают на каждом полисе. Они могут позволить себе выплачивать периодические выплаты, потому что они предлагают достаточно полисов, чтобы эти выплаты были уравновешены остальными застрахованными людьми.

Для людей, покупающих страховку, ожидаемая стоимость будет отрицательной, но есть гарантия, которая исходит от страховки, которая стоит этих затрат.